Black e Scholes - 1973

O modelo de Black e Scholes é um modelo matemático que se destina a precificação de derivativos financeiros, tais como as opções. Ele não é o único modelo que se destina a este propósito, porém é um dos mais utilizados, devido a sua facilidade de uso. Iremos estudar o desenvolvimento do modelo para opções do tipo européias e sem pagamentos de dividendos.

Para desenvolver o modelo, Black e Scholes lançaram mão de várias simplificações, assim temos alguns pressupostos que o modelo deve adotar:

Pressupostos do modelo de Black & Scholes:

1 – O ativo objeto tem comportamento estocástico, conforme o movimento geométrico Browniano;

2 – A distribuição dos preços do ativo objeto é log-normal, o que faz com que a distribuição dos retornos desse ativo seja normal;

3 – A taxa de juros é constante durante a vida da opção;

4 – A volatilidade do ativo objeto é constante ao longo da vida da opção;

5 – O ativo subjacente não paga dividendos durante a vida da opção;

6 – Vendas a descoberto são permitidas;

7 – Não há custos de transação nem impostos envolvidos;

8 – Aplicações e empréstimos de recursos são remunerados a mesma taxa de juros livre de risco;

9 – Não há oportunidades de arbitragem livre de riscos.

Devido a estes pressupostos o modelo de Black e Scholes possui algumas limitações, sendo que as principais restrições são:

O modelo considera a volatilidade do ativo objeto constante durante a vida útil da opção, coisa que sabemos claramente que não acontece. Essa mudança na volatilidade da opção pode levar a erros significativos no apreçamento da opção.

O modelo também considera que a taxa de juros se mantêm constante, coisa que não acontece. Porém no Brasil, devido ao fato de as reuniões do Copom ocorrerem a cada 45 dias aproximadamente e as opções mais líquidas negociadas terem uma vida útil muito pequena, essa limitação do modelo não é tão grave.

As variáveis gregas resultantes do modelo ajudam a estimar os efeitos desses erros e além disso é possível utilizar o modelo para simular alterações nesses parâmetros.

Pretendo no futuro adicionar um artigo sobre cálculo estocástico, movimento browniano e lema de Itô, para cobrir algumas lacunas desse artigo. Por enquanto aceitaremos alguns resultados matemáticos que são indispensáveis.

Para iniciar, vamos supor que o preço de uma ação obedece um movimento geométrico Browniano:

Pelo gráfico acima, notamos que o preço da ação possui um componente determinístico que tende a elevar o preço da ação (ρdt), enquanto que σdz é responsável pela parte aleatória, sendo dz um processo estocástico e σ a volatilidade constante.

Consideremos uma carteira Π em que uma opção é vendida e uma quantidade Δ de ações é comprada:

Se o rendimento da carteira fosse menor do que a taxa de juros livre de risco r, sempre seria possível vender uma quantidade enorme da carteira a descoberto e comprar títulos que pagam a taxa r como rendimento e realizar assim , lucro sem risco. Da mesma forma, se o rendimento da carteira fosse maior que a taxa r, seria possível tomar emprestado uma enorme quantidade de dinheiro à taxa r e aplicar na carteira, obtendo assim mais uma vez, lucro sem risco.

Como por hipótese não existe possibilidade de arbitragem deste tipo, então a carteira deve render a taxa r.